و

لذا . چون اگر قرار دهيم  ان گاه طبق قضیه 1-3-2 خواهیم داشت :

وقتی و يك تصوير از  روي  است به طوری كه  يك عملگرد است.
از طرفي طبق مثبت بودن و نتيجه مي‌شود كه و لذا :

اکنون اگر قرار دهیم  نتیجه می شود که :

اکنون چون  با قرار دادن  چون یک عملگر از به H است پس  نیز یک عملگر از به است و برای هر ،  بنابراين . از طرفی طبق قضيه 6-2-2 از [16] براي هر  ،  به طوری كه  یک تصویر و  . همچنین  و در نتيجه عضو اما يك تصوير است لذا وقتي طبق قضیه 6-2-2 از ]16[ بايد  به طوري كه  زير فضاي بسته  است از طرفی، و برای هر ، پس بنابراين  . چون  لذا :

( اینجا فقط تکه ای از متن فایل پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

بنابراین :

که چون در نتیجه لذا :

اما  پس با قرار دادن و دانستن اینکه Pنتیجه می شود که :

در اين ضرب داخلي  روي  عمل مي‌كند چون  و وقتي ان گاه بنابراين :

چون  براي هايي كه عضو  هستند برابر  است.
اکنون از پیوستگی و تساوی ) نتیجه می شود که :

جايي كه همگرايي در توپولوژي عملگر قوي (  ) است. لذا :

پس اگر  تحول ناپذير باشد در نتيجه :

كه  جابجاگر  است.
از طرفي چون  و پس  بايد يك اسكالر باشد. چون  و پس  لذا :
اما چون  پس  و در نتيجه  . ■
در [11] اثبات شده كه هر زيرمجموعه محدب فشرده ی ضعيف ستاره ی  از عامل ، شامل  ها به عنوان نقاط  فرينش است (البته در حالت  طبق [4] قضيه1، ثابت شده كه اگر  فشرده و محدب باشد آن گاه نقاط -فرينش همان اسكالرها هستند بنابراين بدون كاسته شدن از كليت مي‌توان فرض كرد كه  .

4- 2: تراكم  به  وقتي:
تعريف 4- 2- 1: فرض كنيم براي هر ،  يك تصوير متعامد پوشا به اولين مختص‌ها باشد يعني  كه  . قرار مي‌دهيم  و با مشخص كردن  ، را به عنوان زيرمجموعه  در نظر مي‌گيريم. بنابراين براي هر ، تراكم  به  است. همچنين تراكم  از  به  است.
براي هر  تعريف مي‌كنيم  . لذا  به طوري كه  و  .
گزاره 4- 2- 2: فرض كنيم  يك مجموعه ی محدب  باشد و  تراكم آن به  باشد. بنابراين  محدب  است. اگر  فشرده باشد آن‌گاه  نيز فشرده است.
حتي اگر  آن‌گاه  .
قبل از اثبات اين گزاره خاطرنشان مي‌كنيم كه در [12] منظور از،  است و چون طبق گزاره 1- 1- 3،  پس از همين حالا به جاي  از  و به جاي  از استفاده مي‌كنيم لذا تعريف 4- 2- 1 منطبق بر تعريف آمده در [12] است.
اثبات گزاره 4- 2- 2:
فرض كنيم  يك تركيب  محدب  عنصر  از  باشد. چون  و  تراكم  پس :

فرض كنيم  بنابراين :