در این مدل، اندازه کارایی واحد تحت بررسی از رابطه به دست می‌آید که در آن:، اندیس واحد تصمیم گیرنده تحت بررسی و متغیر نیز بیانگر بیشترین مقدار حاصل از تفاضل ترکیب وزنیِ خروجی‌ها منهای ترکیب وزنیِ ورودی‌ها در بین n واحد تصمیم‌گیرنده است. به عبارت دیگر، می‌توان بیان کرد که اندازه کارایی واحد تحت بررسی برابر است با :

از آنجا که مدل ارائه شده در بالا غیر خطی است، برای تبدیل آن به یک مدل برنامه‌ریزی خطی می‌بایست تمهیداتی اندیشیده شود. برای این منظور، دو طرف محدودیت‌های این مدل را بر متغیر مثبت تقسیم می‌کنیم تا مدل به صورت زیر تغییر یابد:

حال در این مدل جدید، دو تغییر متغیر به صورت و اعمال می‌کنیم. در این صورت، مدل برنامه‌ریزی غیرخطی CCR.IO به مدل برنامه‌ریزی خطی CCR.IO به صورت زیر تبدیل می شود:

نکته: با توجه به دو مدل برنامه‌ریزی خطی و غیرخطی CCR.IO، ملاحظه می‌شود که با گذاشتن عدد ۱ به‌جای متغیر در مدل برنامه‌ریزی غیرخطی CCR.IO می‌توان به مدل برنامه‌ریزی خطی CCR.IO دست یافت. به عبارت دیگر، کافی است در مدل برنامه‌ریزی غیرخطی CCR.IO فرض شود بیشترین مقدار حاصل از تفاضل ترکیب وزنیِ ورودی‌ها از ترکیب وزنیِ خروجی‌ها که واحدهای تصمیم‌گیرنده می‌توانند اخذ کنند، برابر با یک است. در این
صورت، مقدار تابع هدف نیز نشان‌دهنده اندازه کارایی حاصل از مدل CCR.IO است.

در این پژوهش از روش تلفیقی تاپسیس فازی و DEA جهت به دست آوردن کارایی شرکت ها استفاده شده است. بعد از ارائه ی توضیحات در باره ی DEA لازم است در ادامه تعریفی از تاپسیس و نوع فازی آن ارائه می‌شود.

۲-۸٫تاپسیس فازی

تکنیک تاپسیس فازی، تعمیمی از تکنیک تاپسیس در محیط فازی است. تکنیک تاپسیس را هوانگ و یون^[۳۱] در ۱۹۸۱ مطرح کردند. منطق زیربنایی تاپسیس، تعریف راه‌ حل ‌های ایده‌آل مثبت و منفی است. راه‌حل ایده‌آل مثبت، معیارهای از نوع سود را حداکثر و معیارهای از نوع هزینه را حداقل می‌کند. راه‌حل ایده‌آل منفی، معیارهای از نوع هزینه را حداکثر و معیارهای از نوع سود را حداقل می‌کند. گزینه بهینه، نزدیکترین گزینه به راه‌حل ایده‌آل مثبت و دورترین گزینه از راه‌حل ایده‌آل منفی است. به طور خلاصه، راه‌حل ایده‌آل مثبت، ترکیبی از بهترین ارزش‌های قابل دسترس معیارهاست، در حالی که راه‌حل ایده‌آل منفی، شامل بدترین ارزش‌های قابل دسترس معیارهاست. برای ارزیابی عملکرد مالی، ابتدا یک مسأله FMCDM را فرمول‌بندی می‌کنیم. مسأله FMCDM، شامل مجموعه‌ای از m گزینه است که در n شاخص مالی و وزن‌های مربوطه ارزیابی می‌شوند. مسأله می‌تواند به صورت زیر مدل‌سازی شود.

و W=[w₁,w₂,…,w_n].

در اینجا A₁ ,A₂ ,… ,A_m گزینه‌های ممکن هستند که کارشناسان باید ارزیابی نمایند. C₁ ,C₂ ,… ,C_n معیارهایی هستند که در مقابل عملکرد گزینه‌ها در نظر گرفته شده‌اند. G_ij رتبه عملکرد مالی گزینه A_i در برابر معیار C_j و W_j وزن C_j می‌باشد. در فرایند ارزیابی، این وزنها درجه اهمیت معیارهای ارائه شده توسط کارشناسان مالی ـ از طریق بررسی‌ها و ارزیابی‌های ذهنی ـ را با واژه های زبانی نشان می‌دهند. این وزنهای زبانی به خیلی کم(VL)، کم(L)، متوسط(M)، بالا(H) و خیلی بالا(VH) تقسیم و از طریق پرسشنامه جمع‌ آوری می‌شوند [۲۱].

فرض می‌کنیم b_ij(e) ارزش شاخص نمایانگر j را در دوره e نشان می‌دهد که در آن i=1,2,…,m، j=1,2,…,n و e=1,2,…,t هستند.

با توجه به مفهوم اعداد فازی مثلثی، G_ij را تعریف می‌کنیم:

که در آن:

لذا [G_i1,G_i2,…,G_in] رتبه‌های عملکرد گزینه A_i را در n معیار نشان می‌دهند.

با بهره گرفتن از عملگرهای MAX و MIN، راه‌حلهای ایده‌آل مثبت (A⁺) و ایده‌آل منفی (A^–) برای مجموعه گزینه‌ها شناسایی می‌شوند.

A^– =[G₁^–,G₂^–,…,G_n^–]

A⁺ =[G₁⁺,G₂⁺,…,G_n⁺]

در روابط بالا G_n^– و G_n⁺ که اعداد فازی مثلثی می‌باشند، به ترتیب از کمترین و بیشترین مقادیر g^l_ij، g^m_ij و g^r_ij برای گزینه n ام تشکیل شده‌اند.

واضح است که برای i=1,2,…,m و j=1,2,…,n در این رابطه برقرار است:

d_ij^– و d_ij⁺، به ترتیب، نشان‌دهنده فاصله G_ij از G_j^– و G_j⁺ هستند که با بهره گرفتن از فرمول‌های زیر محاسبه می‌شوند:

برای تعیین ضریب اهمیت معیارهای مختلف تصمیم‌گیری، از اعداد فازی استفاده می‌شود. در این‌صورت یک عدد فازی مثلثی است که وزن‌های زبانی بیان شده توسط خبره E_k ‌در مورد معیار C_j را به صورت فازی بیان می‌کند: (j=1,2,…,n و k=1,2,…,p)

W_j را به عنوان میانگین وزن معیار C_j در نظر می‌گیریم و آن را با بهره گرفتن از رابطه زیر محاسبه می‌کنیم:

علائم و نشان‌دهنده ضرب و جمع فازی هستند.

D_i^– و D_i⁺، به ترتیب، فاصله وزین گزینه A_i را از راه‌حل ایده‌آل مثبت و راه‌حل ایده‌آل منفی بیان می‌کنند و با بهره گرفتن از روابط (۱۵) و (۱۶) به دست می‌آیند.

فاصله A_i از A^– و A⁺ به صورت بردار [D_i^– , D_i⁺] نشان داده می‌شود. (i=1,2,…,m)

برای محاسبه راه‌ حل ‌های ایده‌آل مثبت و منفی، نیازمند تعریف پارامترهای ND^–، ND⁺، PD^– و PD⁺ هستیم که به صورت روابط تعریف می‌شوند.

برای بردار فاصله ، راه‌حل ایده‌آل منفی، و برای راه‌حل ایده‌آل مثبت، است. A_i^– و A_i⁺، به ترتیب، نشان‌دهنده فاصله های تا و هستند که با بهره گرفتن از روابط زیر به دست می‌آیند.

در نهایت، ضریب نزدیکی گزینه A_i که با A_i^* نشان داده می‌شود، با بهره گرفتن از رابطه زیر محاسبه می‌گردد.

واضح است که است. اگر باشد، گزینه A_i راه‌حل ایده‌آل مثبت و در صورتی که ، گزینه A_i راه‌حل ایده‌آل منفی خواهد بود. لذا می‌توان رتبه‌بندی گزینه‌های مختلف را با توجه به میزان نزدیکی به راه‌حل ایده‌آل مثبت و دوری از راه‌حل ایده‌آل منفی انجام داد.

۲-۸-۱٫اعداد فازی و متغیر های کلامی

در این بخش برخی تعاریف اساسی از مجموعه های فازی، اعداد فازی و متغیر های کلامی که کوفمان و گوپتا و زاده به آن پرداخته‌اند استفاده می‌شود.

تعریف اعداد فازی: مجموعه فازی در مجموعه مرجع U با تابع عضویت مشخص می‌شود، به طوری که مقدار تابع را درجه عضویت x در مجموعه فازی می‌گویند.(کوفمام،۱۹۹۱)