(‏۳‑۲۸)

ΔM= ?r³

(‏۳‑۲۹)

ΔM_ϑ= ?r⁵

شکل ‏۳‑۷: جرم محبوس ΔM برای درجه آزادی عمودی [۴۲]
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت nefo.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

براساس این روابط جرم محبوس در مقدار شروع می‏شود و به صورت خطی با ν افزایش می‏یابد. ساده ترین روش برای در نظر گرفتن این جرم‏های اضافی، وارد نمودن آن به جرم پی می‏باشد که در نتیجه می‏توان در این شرایط همان مدل مخروطی اولیه را برای کل محدوده اعداد پواسون در‏نظر‏گرفت.
با داشتن جرم محبوس و ممان اینرسی جرم محبوس، می‏توان معادلات تعادل دیسک سطحی را برای هر یک از درجات آزادی نوشت و نهایتا از رابطه‏ی نیروی اندرکنش-تغییرمکان و رابطه‏ی لنگر خمشی اندرکنش-دوران، می‏توان ضریب سختی دینامیکی را برای درجات آزادی عمودی و چرخشی، برای خاک تراکم‏نا‏پذیر و نسبتا تراکم‏ناپذیر به دست آورد [۲۸].
بدین ترتیب برای تمام مولفه‏های حرکت می‏توان یک پی مستقر بر نیم‏فضای همگن را می‏توان به وسیله‏ی یک مخروط با شعاع، ارتفاع راس و سرعت موج مربوط به آن مدل‏سازی نمود (شکل ۳-۸-الف). مدل مخروط انتقالی برای تغییر مکان u₀ به صورت دینامیکی معادل سیستم فنر K و میراگر C است (شکل ۳-۸-ب). مخروط دورانی برای دوران به طور دقیق با مدل فنر k ، میراگر Cو ممان اینرسی جرم با یک درجه آزادی داخلی (که در سمت راست شکل ۳-۸-پ نشان داده شده است)، متناظر می‏باشد. به عنوان یک امکان دیگر، مدل فنر و میراگر با یک درجه آزادی داخلی (که در سمت چپ شکل ۳-۸-پ نشان داده شده است)، می‏توان مورد استفاده قرار داد. البته در این حالت دو ضریب از ضرایب منفی هستند که از نظر ریاضی مشکلی وجود ندارد، اگرچه به صورت مکانیکی نمی‏توان مدل را تشکیل داد. تمام ضرایب به صورت مستقل از فرکانس هستند.
شکل ‏۳‑۸: مدل مخروط و مدل‏ گسسته برای پی واقع بر سطح نیم‏فضای همگن. الف) مخروط نیمه نامحدود ناقص؛ ب) مدل گسسته برای درجه آزادی انتقالی؛ پ) مدل گسسته برای درجه آزادی دورانی [۲۸].
ضرایب سختی دینامیکی
با اعمال اصلاحات مربوط به سرعت موج و جرم محبوس، ضرایب نیرو و تغییر مکان نیز برای حرکت انتقالی به صورت زیر اصلاح بازنویسی می‏شود:

(‏۳‑۳۰)

کهK وC ضرایب مربوط به حرکت انتقالی و= ?r³ نیز جرم اضافی برای حالت ≤ ν و حرکت قائم است. نهایتا می‏توان ضرایب سختی دینامیکی خاک را در حوزه‏ی فرکانس به فرم زیر به‏دست آورد:

(‏۳‑۳۱)

S()= []

(‏۳‑۳۱- الف)

(‏۳‑۳۱- ب)

به‏‏همین‏ترتیب ضرایب نیرو و تغییر‏مکان برای حرکت دورانی نیز به‏صورت زیر اصلاح و بازنویسی می‏شود:

(‏۳‑۳۲)