شدت روشنایی

کاندلا

Cd

مولاریته

مول

Mo

علاوه بر این ها در سیستم SI دو واحد بی بعد دیگر یکی برای تبیین زاویه صفحه ای و دیگری جهت زاویه جسم جامد وجود دارد که واحد اولی رادیان و واحد دومی استرادیان است. همه کمیت های فیزیک را می توان بر حسب کمیت های پایه ای بیان کرد. کمیت های فیزیکی که مقادیر عددی آنها به کمیت های پایه ای بستگی دارد، کمیت های این چنینی دارای واحدهای فرعی بوده که از واحدهای اصلی(واحدهای کمیت های پایه) بدست آورده می شوند. به عبارت دیگر، واحدهای کمیت های فیزیکی می توانند با بهره گرفتن از قانون توان بیان شوند. به عنوان مثال برای کمیت A می توان نوشت: (Murphy, 1950)

( اینجا فقط تکه ای از متن پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

(۲-۱۱۵)
که ضرایب α_۱،α_۲ و α_۳ را می توان با کمک اصل یکنواختی واحدها در طرفین بدست آورد.
کمیت هایی که مقادیر عددی آنها مستقل از واحدهای انتخاب شده است، کمیت های بی بعد نامیده می شوند. به عنوان مثال، درصد رطوبت ماده یک کمیت بی بُعد می باشد.
در آنالیز پدیده های ترمودینامیکی پیچیده بهتر است که معادلات جرم، مومنتوم و انرژی را به شکل بی بُعد تبدیل نماییم. این کار به دو دلیل انجام می شود: ۱- عمومی کردن نتایج حاصله از تحقیقات تئوری و آزمایشگاهی هیدرودینامیک و انتقال جرم و انتقال حرارت در جریان های آرام و متلاطم با ارائه اطلاعات محاسبات عددی و اندازه گیری ها به شکلی که وابسته به پارامترهای بی بُعد باشند. ۲- انجام مدل سازی فرایندهای ترمودینامیکی با بهره گرفتن از یکسان سازی معیارهایی که تعیین کننده شرایط واقعی مسئله هستند. روش بی بُعد سازی معادلات انتقال جرم، حرارت و انرژی با تبدیل مدل زیر به حالت بی بُعد نشان داده می شود:
(Murphy, 1950)
(۲-۱۱۶)
که A_j در بردارنده عملگرهای دیفرانسیلی از قبیل انتقال جرم، حرارت و مومنتوم می تواند باشد. که n تعداد کل معادلات موجود در معادله داده شده می باشد. در واقع A_j در بردارنده ترم های مختلفی بوده که اگر آن ترم ها بر حسب واحدهای پایه نوشته شوند، داریم:
(۲-۱۱۷)
که اندازه ثابت های α_j,β_j,γ_j,ε_j با بهره گرفتن از تعادل ابعادی در طرفین معادله بدست می آیند:
[A₁]=[A₂]=…=[A_j]=…[A_n] (2-118)
می توان همه متغیر های به کار رفته در معادله بالا را با بهره گرفتن از مقیاس های مشخصه یا تبدیل به اعداد ثابتی از قبیل رینولدز، پرانتل، بایوت و… و یا با تقسیم بر کمیت های هم بُعد به حالت بی بُعد دیگری تبدیل کرد.
۲-۷-۲-۴-۱-تئوری π
مطالعه فرایندهای ترمودینامیکی در اجسام پیوسته روابطی بین برخی کمیت های مشخص متناسب با نوع پدیده و پارامترهای مربوط به مشخصات فیزیکی ماده (از قبیل حرکت آن و عکس العمل هایش با محیط اطراف) درست می کند. چنین روابطی می تواند با معادله زیر بیان شود: (Murphy, 1950)
A=f(a₁,a₂,…,a_n) (2-119)
که A کمیت نامعلوم مورد نظر بوده وa₁,a₂,a₃,…,a_n پارامترهای حاکم (از قبیل مشخصات ماده، ثابت های فیزیکی، زمان و مختصات مکانی) هستند. معادله بالا فقط وجود رابطه ای بین کمیت (های) نامعلوم و پارامترهای حاکم را نشان می دهد. البته شکل این رابطه نامعلوم است. دو روش برای تعیین شکل دقیق رابطه وجود دارد. اولین روش، روش آزمایشگاهی و روش دیگر روش تئوری است. روش آزمایشگاهی بر اساس عمومی سازی نتایج اندازه گیری کمیت نامعلوم a در حالی که کمیت های حاکم متغیر باشند. روش تئوری بر اساس حل های عددی و تحلیلی معادلات می باشد. اگر کمیت های حاکم فقط یکی بوده، یافتن رابطه ای بین دو کمیت (a=f(a₁)) در هر دو روش آسان می باشد. اما زمانی که متغیرهای حاکم زیاد باشند (n>1 در معادله بالا)، حل معادله بالا به روش های عددی و تحلیلی خیلی مشکل و گاهاً ناممکن است (Murphy, 1950).
به عنوان مثال نیروی کششی اعمالی روی یک جسم متحرک که با سرعت ثابت v در یک سیال نامحدود لزجی غیرقابل فشردن را در نظر بگیرید. نیروی کششی که از طرف سیال بر جسم اعمال می شود (F_d)، به چهار پارامتر ابعادی وزن مخصوص (ρ)، لزجت (μ)، بُعد مشخصه جسم (d) و سرعت جسم (v) بستگی دارد. در نتیجه داریم:
F_d=f(ρ,μ,d,v) (2-120)
جهت یافتن F_d به صورت آزمایشگاهی باید جسم را در تونل باد قرار داده و F_d را در سرعت مشخص با مقیاس آئرودینامیکی معلوم بدست آورد. البته این روشی برای یافتن فقط یک نقطه از حل مساله است. جهت پیدا کردن وابستگی F_d نسبت به v در یک بازه معلوم، این آزمایش ها باید در N نقطه معلوم انجام گیرد تاF_d=f(v) در یک بازه معلوم از سرعت و در مقادیر ثابت سایر پارمترهای حاکم، بدست آید. اگر بخواهیم وابستگی F_d را به هر چهار پارامتر بیابیم، باید N⁴ اندازه گیری انجام گیرد. بنابراین مثلاً اگر N=100 باشد، تعداد کل اندازه گیری ها ۱۰^۸ خواهد بود. پر واضح است که اندازه گیری چنین تعدای از آزمایش ها ناممکن است. علاوه براین حتی با انجام همه این آزمایش ها، هیچ گونه قضاوتی درباره مقادیر خارج از بازه های انجام گرفته نمی توان داشت. روش تحلیلی و عددی نیز برای یافتن این وابستگی به دلیل مشکلاتی که در انتگرال گیری از سیستم های معادلات دیفرانسیل جزئی غیرخطی وجود دارد، بسیار پیچیده است. جهت مطالعه وابستگی F_d به پارامترهای مذکور، استفاده از تئوری π مساله را بسیار آسان تر می کند. در این مسیر، تابع با n متغیر ابعادی باید به m متغیر بی بعد تبدیل گردد (m<n). در حقیقت این تئوری پیشنهاد می کند که چه تعدادی از متغیرهای بی بعد برای توصیف مساله حاوی n پارامتر ابعادی مورد نیاز است. تئوری مذکور به این صورت بیان می شود: (Murphy, 1950)
فرض کنید که کمیت فیزیکی ابعادی a به n پارامتر ابعادی a₁,a₂,…,a_n بستگی دارد که تعدادk از آنها استقلال ابعادی دارند. سپس
a=f(a₁,a₂,…,a_k,a_k+1,…,a_n) (2-121)
می تواند به شکل معادله بی بعد زیر نوشته شود:
Π=ϕ(π_۱,π_۲,…,π_n-k) (2-122)
که این معادله حاوی n-k متغیر بی بعد می باشد.
, ,…,
شکل بی بعد کمیت نامعلوم a عبارتست از:
(۲-۱۲۳)
که توان های نامعلوم را می توان با کمک تعادل ابعادی بدست آورد.
۲-۷-۲-۴-۲- مراحل ایجاد معادله بی بعد بر اساس تحلیل ابعادی
به این ترتیب خلاصه مراحل ایجاد معادله بی بعد بر مبنای روش تحلیل ابعادی در ادامه آورده می شود: (Murphy, 1950)
مرحله اول: اولین و مهمترین مرحله تحلیل ابعادی این است که مجموعه کامل کمیت های مستقل تشخیص داده شوند(Q₁, Q₂,…,Q_n). در واقع این مجموعه مشخص کننده کمیت وابسته خواهند بود (Murphy, 1950).
Q₀=f(Q₁, Q₂,…,Q_n(2-124) (
البته همان گونه که بعداً خواهید دید باید تغییراتی در این معادله ایجاد شود. که البته رابطه تابعی بالا مسلماً نتیجه قوانین فیزیکی است که بر پدیده مورد مطالعه حاکم است.
مرحله دوم: مرحله بعدی مشخص کردن ابعاد فیزیکی متغیر های مستقل و وابسته است. در این مرحله باید هر کمیتی به شکل ابعاد پایه ای موجود در مساله نوشته شده و سپس از بین کمیت ها فقط کمیت های مستقل از نظر ابعادی را انتخاب نمود (Q₁, Q₂,…,Q_k) ، k≤n. و سایر کمیت های مستقل و کمیت وابسته را به صورت توابعی از این کمیت ها بیان کرد. زیر مجموعه Q₁, Q₂,…,Q_k از مجموعه Q₁, Q₂,…,Q_n از نظر ابعادی مستقل است، اگر بُعد هیچ کدام از اعضایش نتواند به صورت ابعادی از سایر اعضا بیان شود. همچنین این مجموعه کامل است، اگر سایر کمیت ها (Q_k+1, Q_k+2,…,Q_n) بتواند به صورت تابعی از کمیت های زیرمجموعه Q₁, Q₂,…,Q_k بیان شود. زیرمجموعه Q₁, Q₂,…,Q_k به صورت آزمایش و خطا مشخص می شود و اعضایش ممکن است متفاوت باشند. اما آنچه که در هر حال ثابت است، تعداد اعضای این زیر مجموعه است که نمی تواند از تعداد ابعاد پایه ای که در ابعاد کمیت های مجموعه Q₁, Q₂,…,Q_n وجود دارد، تجاوز نماید. مثلاً اگر ابعاد این مجموعه فقط شامل طول، زمان و جرم باشند، سپس حتماً k≤۳خواهد بود.
مرحله سوم: پس از انتخاب زیر مجموعه مذکور (به صورتی که هم کامل باشند و هم مستقل)، باید سایر کمیت ها (ی مستقل و وابسته) را به صورت توابعی از این زیر مجموعه نوشت:
(۲-۱۲۵)
که در رابطه بالا i<k یا i=0 است. توان N_ij اعداد بی بعد واقعی هستند که می توانند به راحتی با موازنه ابعادی بدست آیند.
مرحله چهارم: در این مرحله باید شکل بی بُعد n-k متغیر مستقل باقی مانده را با تقسیم هر کدام از آنها بر ترکیبی از کمیت های زیر مجموعه، که دارای بُعد یکسانی است، بدست آورد.
(۲-۱۲۶)